Родился 1 ноября 1954 года в городе Усть-Куте Иркутской области. В 1975-1980 годах учился в Палехском художественном училище. Учитель - А.С.Песков. В 1980-1989 годах работал в Палехских художественно-производственных мастерских.
Тематика произведений: фольклор, жанровые сцены. Участник выставок с 1984 года.
Работы А.А.Гелишева хранятся в Государственном музее палехского искусства.
